運動量保存則を用いて問題を解くための成立条件を理解しよう！岡山の理系高校生を上位校合格へ導くエッセンス

二つの物体（質量ｍ₁、速度ｖ₁と質量ｍ₂、速度ｖ₂をそれぞれ持つ）が衝突するケースがあり、まず、真正面から衝突するケースから考えます。衝突の瞬間、両者は互いに作用・反作用の関係にある力を相手から受けます。このとき、二つの物体を一纏めにして一つの物体としてみると、作用する力は物体の内部のはたらく力（内力といいます）のみということが分かります。図の右向きの方向をxの正の方向に取ると、両者の運動方程式はそれぞれ以下のようになります。

小物体1：m_1・d²x₁/dt² = -f ・・・・・①

小物体2：m₂・d²x₂/dt² = f ・・・・・②

となります。
また。dx₁/dt = v₁、dx₂/dt = v₂であることを考慮し、両式を足して式を纏めると、以下のようになります。

ｄ/dt(m₁v₁+m₂v₂) = 0

つまり。m₁v₁+m₂v₂が時間の変化によらず一定であることが分かります。

物理学の世界では時間に依らず一定であるものは保存されている、とよく言います。

質量mと速度vの積のことを運動量と言います。つまり、二つの物体の運動量は保存されている、ということが分かります。

もし、先ほどの力学モデルにて、作用・反作用以外の力が作用していたら、どうなるでしょう？例えば、小物体と床の間に摩擦がある場合、両者は動いているので動摩擦係数をμ'としましょう、小物体1に作用する動摩擦力をf₁、小物体2に作用するそれをf₂すると、下の図から運動方程式はそれぞれ以下のようになります。

小物体1：m_1・d²x₁/dt² = -f -f₁・・・・・①

小物体1：m_1・d²x₂/dt² = f +f₂・・・・・②’

二つの式を足しても右辺は0になりませんよね。つまり。左辺のm₁v₁+m₂v₂は時間によらず一定ではない、

という結論になります（f₁＝f₂の場合は右辺＝0となりますが）。

つまり、運動保存則が成立するためには、衝突時に発生する作用・反作用の関係にある力以外の力が二つの物体に作用していない。言い換えれば、作用・反作用の力のみが作用していることが必要、ということになります。

問題で頻出の物体どおしが斜めに衝突するケースも成立条件は同じです。正面から衝突するケースと何が異なるのか？衝突する瞬間の速度を2方向に分解するだけです。つまり、ベースになるモデルで原理を理解すれば、あとは違いを比較してそこに対応すれば多くの問題が解けるようになる、ということです。

摩擦のない床の上に質量Mの台が静止している。台の上に質量mの小物体を初速v₀でxの正の向きに動かす。台と物体の反発係数はe( 0 < e < 1 )、台と小物体の間に摩擦はないものとする。n回衝突を繰り返した後、両者の速度を求めよ。