単振動を紐解き、大学受験で物理を得点源にするための力学

左図において、ばねが自然長のときの質量mの物体の位置をx=0とします。物体の位置をxとすると、x>0、x<0 いずれの場合も物体はばねから復元力を受けます。復元力の向きとxは常に逆符号につき、物体に関する加速度をaとすると、運動方程式は

ma=－kx

と表されます。式を整理すると、

a+(k/m)x = 0 ････････① となることが分かります。

力学モデル固有の振動数（：固有振動数、高校物理では角振動数とも言う）をωとおけば、①式は

a+ω^2x = 0････････②

となります。ところで、角速度ωに周期Tを掛けると2πになることから

ωT = 2π････････③ が成立します。

つまり、運動方程式よりωを求めれば、周期Tを求めたも同然です。

さて、次に振動中心について考えます。

振動方向での力のつり合いを考えます。このモデルでは、ばねによる弾性力以外の力は物体に作用しないため、x方向での力のつり合い位置は

x = 0 となります。これが振動中心となります。振幅はx=0からバネが最大に伸縮した位置ですよね。周期は先ほどの運動方程式から求めました。

ところで、単振動の理論解析にこの3つ以外の要素があると思いますか？答えはノーです。つまり、この3つの要素を求めることが単振動問題を解くことそのもに等しいと言っても過言ではありません。

さて、左図からあることが分かります。

x > 0のときは弾性力の向きはxの負の向き、x < 0のときはxの正の向きだと分かります。言い換えると、常にx = 0、つまり物体は常に振動中心位置へ戻ろうとしていませんか？その通りです。入試問題は力学だけでなく、他分野との複合問題を好む傾向があります。しかし左図のように物体が常に一定の位置へ戻ろうとする（復元力が作用している）ことを見抜けば、その物体の運動を単振動として解けば答えが出るということです。あとは先述の通り、

1.力のつり合いから振動中心を求める

2.振幅は問題文から読み取るか、または力学的エネルギー保存則より求めることが可能

3.運動方程式を立てた時点でω（固有振動数）は求めたも同然

上記の1.～3.は型に嵌った作業のようなものです。

難問を解くカギはやはり、物体の運動が単振動かどうかを見抜けるかどうかにかかっています。

でも、もう見抜けますよね？

図3を参照し、ばねの最大伸び位置( x= a )を位置エネルギー=0の位置とする。初期位置では物体の速度＝0より運動エネルギー0、ばねによる弾性エネルギーは(1/2)k(a+d)^2、ばねの縮み代最大位置では速度＝0より運動エネルギー＝0、位置エネルギーはmg(a+d+a')sinθ、弾性エネルギーは(1/2)ka'^2となり、この運動は保存系で力学的エネルギー保存則が成り立つので、

 (1/2)k(a+d)^2 = mg(a+d+a')sinθ + (1/2)ka'^2 ･･････ ②

d = mgsinθ/kよりこれらの式からa'は

a' = -a-d、a-d、

a' = -a-dであれば②式にてa+d+a' = 0となり不適なので

a' = a-d（X = d+a' = a）

となり、振動中心からの物体の最大変位はX > 0、x < 0ともに同値であることが分かります。